Definição de modelo de scholes pretos

Índice

O que é o modelo Black Scholes?
Os princípios do modelo BSM
A fórmula de Black Scholes
O que o modelo diz a você?
Limitações

O que é o modelo Black Scholes?

O modelo Black Scholes, também conhecido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), é um modelo matemático para a precificação de um contrato de opções. Em particular, o modelo estima a variação ao longo do tempo de instrumentos financeiros, como ações, e o uso da volatilidade implícita do ativo subjacente deriva o preço de uma opção de compra.

Principais Takeaways

O modelo Black-Scholes Merton (BSM) é uma equação diferencial usada para resolver os preços das opções. O modelo ganhou o prêmio Nobel de economia. O modelo padrão BSM é usado apenas para precificar opções europeias e não leva em conta que as opções americanas poderiam ser exercido antes da data de vencimento.

O básico do modelo Black Scholes

O modelo assume que o preço dos ativos fortemente negociados segue um movimento browniano geométrico com deriva e volatilidade constantes. Quando aplicado a uma opção de compra de ações, o modelo incorpora a variação constante do preço das ações, o valor temporal do dinheiro, o preço de exercício da opção e o tempo até o vencimento da opção.

Também chamado de Black-Scholes-Merton, foi o primeiro modelo amplamente utilizado para precificação de opções. É usado para calcular o valor teórico das opções usando os preços atuais das ações, dividendos esperados, preço de exercício da opção, taxas de juros esperadas, prazo de vencimento e volatilidade esperada.

A fórmula, desenvolvida por três economistas - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton - talvez seja o modelo de precificação de opções mais conhecido do mundo. Foi introduzido em seu artigo de 1973, "O preço das opções e do passivo corporativo", publicado no Journal of Political Economy . Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberem o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um novo método para determinar o valor dos derivativos (o Prêmio Nobel não é concedido postumamente; no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel de Black no Modelo Black-Scholes).

O modelo Black-Scholes faz certas suposições:

A opção é européia e só pode ser exercida no vencimento. Nenhum dividendo é pago durante a vida útil da opção. Os mercados são eficientes (isto é, movimentos de mercado não podem ser previstos). Não há custos de transação na compra da opção. A taxa livre e a volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes. Os retornos do subjacente são normalmente distribuídos.

Enquanto o modelo Black-Scholes original não considerou os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo é frequentemente adaptado para contabilizar dividendos, determinando o valor da data ex-dividendo das ações subjacentes.

A fórmula de Black Scholes

A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidadora. Felizmente, você não precisa conhecer nem entender a matemática para usar a modelagem de Black-Scholes em suas próprias estratégias. Os traders de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line, e muitas das plataformas de negociação atuais possuem ferramentas robustas de análise de opções, incluindo indicadores e planilhas que realizam os cálculos e emitem os valores de preços das opções.

A fórmula da opção de compra Black Scholes é calculada multiplicando o preço das ações pela função de distribuição de probabilidade normal padrão cumulativa. Posteriormente, o valor presente líquido (VPL) do preço de exercício multiplicado pela distribuição normal padrão acumulada é subtraído do valor resultante do cálculo anterior.

Em notação matemática:

O que outras pessoas estão dizendo $\begin{matrix} C = S_{t} N (d_{1}) - K e^{- r t} N (d_{2}) \\ Onde: \\ d_{1} = \frac{eu n \frac{S_{t}}{K} + (r + \frac{σ_{v}^{2}}{2}) t}{σ_{s} \sqrt{t}} \\ e \\ d_{2} = d_{1} - σ_{s} \sqrt{t} \\ Onde: \\ C = Preço da opção de compra \\ S = Preço atual das ações (ou outro subjacente) \\ K = Preço de exercício \\ r = Taxa de juros livre de risco \\ t = Tempo até o vencimento \\ N = Uma distribuição normal \end{matrix} \ begin {alinhado} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \ & \ textbf {onde:} \ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K } + (r + \ frac { sigma ^ {2} _v} {2}) t} { sigma_s \ \ sqrt {t}} \ & \ text {e} \ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \ & \ textbf {where:} \ & C = \ text {Preço da opção de compra} \ & S = \ text {Preço do estoque atual (ou outro subjacente)} \ & K = \ text {Preço de exercício } \ & r = \ text {Taxa de juros livre de risco} \ & t = \ text {Tempo até o vencimento} \ & N = \ text {Uma distribuição normal} \ \ end {alinhada}$ C = St N (d1) -Ke-rtN (d2) onde: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) ted2 = d1 −σs t onde: C = opção de compra priceS = estoque atual (ou outro subjacente) preçoK = preço de exercício inicial = ratet de juros livre de risco = tempo de vencimentoN = distribuição normal

Modelo Black-Scholes

O que o modelo Black Scholes lhe diz?

O modelo Black Scholes é um dos conceitos mais importantes da teoria financeira moderna. Foi desenvolvido em 1973 por Fischer Black, Robert Merton e Myron Scholes e ainda hoje é amplamente utilizado. É considerado uma das melhores maneiras de determinar preços justos das opções. O modelo Black Scholes requer cinco variáveis de entrada: o preço de exercício de uma opção, o preço atual das ações, o prazo de validade, a taxa livre de risco e a volatilidade.

O modelo assume que os preços das ações seguem uma distribuição lognormal porque os preços dos ativos não podem ser negativos (eles são limitados por zero). Isso também é conhecido como distribuição gaussiana. Freqüentemente, observa-se que os preços dos ativos apresentam uma distorção correta significativa e algum grau de curtose (caudas gordas). Isso significa que movimentos descendentes de alto risco geralmente acontecem com mais frequência no mercado do que uma distribuição normal prevê.

A suposição de preços de ativos subjacentes lognormal deve, portanto, mostrar que as volatilidades implícitas são semelhantes para cada preço de exercício de acordo com o modelo de Black-Scholes. No entanto, desde o colapso do mercado de 1987, as volatilidades implícitas nas opções monetárias têm sido menores do que aquelas que estão mais afastadas ou distantes do dinheiro. A razão para esse fenômeno é que o mercado está precificando com maior probabilidade de uma alta volatilidade passar para o lado negativo dos mercados.

Isso levou à presença de distorção da volatilidade. Quando as volatilidades implícitas para opções com a mesma data de vencimento são mapeadas em um gráfico, pode ser visto um sorriso ou uma forma de inclinação. Assim, o modelo de Black-Scholes não é eficiente para calcular a volatilidade implícita.

Limitações do modelo Black Scholes

Conforme afirmado anteriormente, o modelo Black Scholes é usado apenas para precificar opções europeias e não leva em consideração que as opções americanas poderiam ser exercidas antes da data de vencimento. Além disso, o modelo pressupõe dividendos e as taxas sem risco são constantes, mas isso pode não ser verdade na realidade. O modelo também pressupõe que a volatilidade permaneça constante ao longo da vida útil da opção, o que não ocorre porque a volatilidade varia com o nível de oferta e demanda.

Além disso, o modelo assume que não há custos ou impostos de transação; que a taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos; que venda a descoberto de valores mobiliários com uso de recursos é permitida; e que não há oportunidades de arbitragem sem risco. Essas premissas podem levar a preços que se desviam do mundo real onde esses fatores estão presentes.

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