A regra 72 é um atalho matemático usado para prever quando uma população, investimento ou outra categoria crescente dobrará de tamanho para uma determinada taxa de crescimento. Também é usado como um dispositivo heurístico para demonstrar a natureza do interesse composto. Muitos estatísticos recomendam que o número 69 seja usado, em vez de 72, para estimar os resultados de taxas de crescimento compostas contínuas. Calcule a rapidez com que a composição contínua dobrará o valor do seu investimento, dividindo 69 pela taxa de crescimento.
A regra dos 72 era na verdade baseada na regra dos 69, e não o contrário. Para composição não contínua, o número 72 é mais popular porque possui mais fatores e é mais fácil calcular retornos rapidamente.
Composição contínua
Nas finanças, composição contínua refere-se a uma taxa de crescimento com períodos de composição infinitesimalmente pequenos; o interesse gerado é calculado e composto mais de uma vez por segundo, por exemplo.
Como um investimento com composição contínua cresce mais rápido que um investimento com composição simples ou discreta, os cálculos de valor do dinheiro no tempo padrão estão mal equipados para lidar com eles.
Regra de 72 e Composição
A regra de 72 vem de uma fórmula padrão de juros compostos:
O que outras pessoas estão dizendo VFuture = PV ∗ (1 + r) nonde: VFuture = Valor futuroPV = Valor atual = Taxa de juros
Essa fórmula permite encontrar um valor futuro exatamente igual ao dobro do valor presente. Faça isso substituindo FV = 2 e PV = 1:
O que outras pessoas estão dizendo 2 = (1-r) n
Agora, pegue o logaritmo de ambos os lados da equação e use a regra de potência para simplificar ainda mais a equação:
O que outras pessoas estão dizendo 2ln20.693 = (1 − r) n∴ = ln (1 − r) n = n ∗ ln (1 − r) ∴≈n ∗ r
Como 0, 693 é o logaritmo natural de 2. Essa simplificação aproveita o fato de que, para valores pequenos de r, a seguinte aproximação é verdadeira:
O que outras pessoas estão dizendo ln (1 + r) ≈r
A equação pode ser reescrita para isolar o número de períodos de tempo: 0, 693 / taxa de juros = n. Para tornar a taxa de juros um número inteiro, multiplique os dois lados por 100. A última fórmula é então 69, 3 / taxa de juros (porcentagem) = número de períodos.
Não é muito fácil calcular alguns números divididos por 69, 3; portanto, estatísticos e investidores estabeleceram o número inteiro mais próximo com muitos fatores: 72. Isso criou a regra de 72 para estimativas futuras rápidas de valor e composição.
Composição contínua e a regra de 69 (.3)
A suposição de que o logaritmo natural de (1 + taxa de juros) é igual à taxa de juros é verdadeira apenas quando a taxa de juros se aproxima de zero em etapas infinitesimalmente pequenas. Em outras palavras, é somente sob composição contínua que um investimento dobrará de valor sob a regra de 69.
Suponha que um investimento de taxa fixa garanta 4% de crescimento contínuo. Aplicando a regra da fórmula 69.3 e dividindo 69.3 por 4, você pode descobrir que o investimento inicial deve dobrar de valor em 17, 325 anos.
