Avaliar opções pode ser um negócio complicado. Considere o seguinte cenário: Em janeiro de 2015, as ações da IBM estavam sendo negociadas a US $ 155 e você esperava que ela aumentasse no próximo ano. Você pretende comprar uma opção de compra de ações da IBM com um preço de exercício de ATM de US $ 155, esperando se beneficiar de altos retornos percentuais, com base em um pequeno custo de opção (prêmio da opção), em comparação com a compra de ações com um preço de compra alto.
Qual deve ser o valor justo dessa opção de compra na IBM?
Hoje, existem dois métodos prontos disponíveis para avaliar as opções - incluindo o modelo Black-Scholes e o modelo da árvore binomial - que podem fornecer respostas rápidas. Mas quais são os fatores subjacentes e os conceitos fundamentais para chegar a esses modelos de avaliação? Pode-se preparar algo semelhante, com base no conceito desses modelos?
Aqui, abordamos os blocos de construção, os conceitos subjacentes e os fatores que podem ser usados como estrutura para construir um modelo de avaliação de um ativo, como opções, fornecendo uma comparação lado a lado das origens dos Black-Scholes (BS) modelo.
O mundo antes dos Black-Scholes
Antes da Black-Scholes, o Capital Asset Pricing Model (CAPM) baseado em equilíbrio era amplamente seguido. Os retornos e os riscos foram equilibrados entre si, com base na preferência do investidor, ou seja, esperava-se que um investidor de alto risco fosse compensado com (o potencial de) retornos mais altos em uma proporção semelhante.
O modelo BS encontra suas raízes no CAPM. De acordo com Fisher Black: “Eu apliquei o Modelo de Precificação de Ativos de Capital em todos os momentos da vida de um mandado, para todos os preços de ações e valores de mandado possíveis.” Infelizmente, o CAPM não foi capaz de cumprir o requisito de preço de mandado (opção).
Black-Scholes continua sendo o primeiro modelo, baseado no conceito de arbitragem, fazendo uma mudança de paradigma dos modelos baseados em risco (como CAPM). Esse novo desenvolvimento do modelo BS substituiu o conceito de retorno das ações CAPM pelo reconhecimento do fato de que uma posição perfeitamente protegida ganhará uma taxa livre de risco. Isso eliminou as variações de risco e retorno e estabeleceu o conceito de arbitragem em que as avaliações são realizadas com base em premissas de conceito neutro a risco - uma posição protegida (livre de risco) deve levar a uma taxa de retorno livre de risco.
O desenvolvimento de Black-Scholes
Vamos começar estabelecendo o problema, quantificando-o e desenvolvendo uma estrutura para sua solução. Continuamos com nosso exemplo de avaliação da opção de compra de caixa eletrônico na IBM com um preço de exercício de US $ 155 com um ano para expirar.
Com base na definição básica de uma opção de compra, a menos que o preço das ações atinja o nível de preço de exercício, o resultado permanece zero. Após esse nível, o payoff aumenta linearmente (ou seja, um aumento de um dólar no subjacente fornecerá um payoff de um dólar a partir da opção de compra).
Supondo que o comprador e o vendedor concordem com uma avaliação justa (incluindo preço zero), o preço justo teórico para esta opção de compra será:
- Preço da opção de compra = $ 0, se subjacente <strike (gráfico vermelho) Preço da opção de compra = (subjacente — strike), se subjacente> = strike (gráfico azul)
Isso representa o valor intrínseco da opção e parece perfeito do ponto de vista de um comprador de opção de compra. Na região vermelha, o comprador e o vendedor têm uma avaliação justa (preço zero para o vendedor, retorno zero para o comprador). No entanto, o desafio da avaliação começa na região azul, pois o comprador tem a vantagem de uma recompensa positiva, enquanto o vendedor sofre uma perda (desde que o preço subjacente ultrapasse o preço de exercício). É aqui que o comprador tem uma vantagem sobre o vendedor com preço zero. O preço precisa ser diferente de zero para compensar o vendedor pelo risco que está assumindo.
No primeiro caso (gráfico vermelho), teoricamente, o preço zero é recebido pelo vendedor e o potencial de pagamento zero é zero para o comprador (justo para ambos). Neste último caso (gráfico azul), o diferencial entre o subjacente e a greve deve ser pago pelo vendedor ao comprador. O risco do vendedor se estende ao longo de um ano inteiro. Por exemplo, o preço das ações subjacentes pode subir muito alto (digamos, US $ 200 em quatro meses) e o vendedor é obrigado a pagar ao comprador o diferencial de US $ 45.
Assim, resume-se a:
- O preço do subjacente cruzará o preço de exercício? Em caso afirmativo, qual o valor do preço subjacente (pois isso determinará a recompensa para o comprador)?
Isso indica o grande risco assumido pelo vendedor, o que leva à pergunta - por que alguém venderia essa ligação se não recebe nada pelo risco que está assumindo?
Nosso objetivo é chegar a um preço único que o vendedor deve cobrar do comprador, o que pode compensá-lo pelo risco geral que ele corre ao longo de um ano - na região de pagamento zero (vermelho) e na região de pagamento linear (azul). O preço deve ser justo e aceitável para o comprador e o vendedor. Caso contrário, quem estiver em desvantagem em termos de pagamento ou recebimento de preço injusto não participará do mercado, derrotando, assim, o objetivo do negócio comercial. O modelo Black-Scholes visa estabelecer esse preço justo considerando a variação constante do preço das ações, o valor temporal do dinheiro, o preço de exercício da opção e o tempo para o vencimento da opção. Semelhante ao modelo BS, vamos ver como podemos nos aproximar para avaliar isso em nosso exemplo usando nossos próprios métodos.
Como avaliar o valor intrínseco na região azul?
Existem alguns métodos disponíveis para prever o movimento esperado dos preços no futuro durante um determinado período de tempo:
- Pode-se analisar movimentos de preços semelhantes com a mesma duração no passado recente. O histórico preço de fechamento da IBM indica que, no último ano (2 de janeiro de 2014 a 31 de dezembro de 2014), o preço caiu de US $ 185, 53 para US $ 160, 44, uma queda de 13, 5%. Uma verificação mais detalhada indica que atingiu uma alta anual de US $ 199, 21 (em 10 de abril de 2014) e uma baixa anual de US $ 150, 5 (em 16 de dezembro de 2014). Baseando-os no dia inicial, 2 de janeiro de 2014, e o preço de fechamento de US $ 185, 53, a variação percentual varia de + 7, 37% a -18, 88%. Agora, a variação varia muito mais em comparação com o declínio calculado anteriormente de 13, 5%.
Análises e observações semelhantes sobre dados históricos podem ser realizadas. Para continuar nosso desenvolvimento do modelo de preços, vamos assumir essa metodologia simples para avaliar as variações futuras de preços.
Suponha que a IBM aumente 10% a cada ano (com base nos dados históricos dos últimos 20 anos). As estatísticas básicas indicam que a probabilidade da variação do preço das ações da IBM pairar em torno de + 10% será muito maior do que a probabilidade do preço da IBM subir 20% ou diminuir 30%, assumindo que os padrões históricos se repitam. Coletando pontos de dados históricos semelhantes com valores de probabilidade, um retorno esperado global do preço das ações da IBM em um período de um ano pode ser calculado como uma média ponderada de probabilidades e retornos associados. Por exemplo, suponha que os dados históricos de preços da IBM indiquem os seguintes movimentos:
- (-10%) em 25% das vezes, + 10% em 35% das vezes, + 15% em 20% das vezes, + 20% em 10% das vezes, + 25% em 5% das vezes e (-15%) em 5% das vezes.
Portanto, a média ponderada (ou o valor esperado) chega a:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Ou seja, em média, o preço das ações da IBM deve retornar + 6, 5% em um ano para cada dólar. Se alguém compra as ações da IBM com um horizonte de um ano e um preço de compra de US $ 155, pode-se esperar um retorno líquido de 155 * 6, 5% = US $ 10, 075.
No entanto, isso é para o retorno das ações. Precisamos procurar retornos esperados semelhantes para a opção de compra.
Com base no payoff zero da chamada abaixo do preço de exercício (US $ 155 - chamada ATM existente), todos os movimentos negativos gerarão payoffs zero, enquanto todos os movimentos positivos acima do preço de exercício gerarão payoff equivalente. O retorno esperado para a opção de compra será assim:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Ou seja, para cada US $ 100 investidos na compra dessa opção, pode-se esperar US $ 9, 75 (com base nas premissas acima).
No entanto, isso ainda permanece confinado à valorização justa do valor intrínseco da opção e não captura corretamente o risco assumido pelo vendedor da opção pelas altas oscilações que podem ocorrer nesse ínterim (no caso das faixas intrayear altas e baixas acima mencionadas). preços). Além do valor intrínseco, que preço pode ser acordado entre o comprador e o vendedor, para que o vendedor seja bastante compensado pelo risco que está assumindo durante o período de um ano?
Essas oscilações podem variar bastante e o vendedor pode ter sua própria interpretação de quanto ele quer ser compensado por isso. O modelo Black-Scholes assume opções do tipo europeu, ou seja, nenhum exercício antes da data de vencimento. Portanto, ele não é afetado pelas oscilações intermediárias de preços e baseia sua avaliação nos dias de negociação de ponta a ponta.
Na negociação em dia real, essa volatilidade desempenha um papel importante na determinação dos preços das opções. A função de payoff azul que geralmente vemos é na verdade o payoff na data de vencimento. Realisticamente, o preço da opção (gráfico rosa) é sempre maior que o payoff (gráfico azul), indicando o preço praticado pelo vendedor para compensar suas habilidades de assumir riscos. É por isso que o preço da opção também é conhecido como a opção “prêmio” - indicando essencialmente o prêmio de risco.
Isso pode ser incluído em nosso modelo de avaliação, dependendo de quanto volatilidade é esperada no preço das ações e quanto valor esperado isso traria.
O modelo Black-Scholes o faz com eficiência (é claro, dentro de suas próprias suposições) da seguinte maneira:
O que outras pessoas estão dizendo C = S × N (d1) -X × e-rTN (d2)
O modelo BS assume uma distribuição lognormal dos movimentos dos preços das ações, o que justifica o uso de N (d1) e N (d2).
- Na primeira parte, S indica o preço atual do estoque. N (d1) indica a probabilidade do movimento atual dos preços das ações.
Se essa opção entrar no dinheiro permitindo que o comprador a exerça, ele receberá uma ação das ações subjacentes da IBM. Se o profissional o exercitar hoje, então o S * N (d1) representa o valor esperado atual da opção.
Na segunda parte, X indica o preço de exercício.
- N (d2) representa a probabilidade de o preço das ações estar acima do preço de exercício. Portanto, X * N (d2) representa o valor esperado do preço das ações restante acima do preço de exercício.
Como o modelo Black-Scholes assume opções de estilo europeu em que o exercício é possível apenas no final, o valor esperado representado acima por X * N (d2) deve ser descontado pelo valor temporal do dinheiro. Portanto, a última parte é multiplicada pelo prazo exponencial aumentado para a taxa de juros ao longo do período.
A diferença líquida dos dois termos indica o valor do preço da opção a partir de hoje (em que o segundo termo é descontado)
Em nossa estrutura, esses movimentos de preços podem ser incluídos com mais precisão de várias maneiras:
- Aperfeiçoamento adicional dos cálculos de retorno esperado, expandindo a faixa para intervalos mais refinados para incluir movimentos de preços intradiários / intradiários Inclusão de dados atuais do mercado, pois reflete a atividade atual (semelhante à volatilidade implícita) Retornos esperados na data de vencimento, que podem ser descontado de volta aos dias atuais para avaliações realistas e ainda mais reduzido a partir do valor atual
Assim, vemos que não há limite para premissas, metodologias e customizações a serem selecionadas para análise quantitativa. Dependendo do ativo a ser negociado ou do investimento a ser considerado, um modelo autodesenvolvido pode ser trabalhado. É importante observar que a volatilidade dos movimentos de preços de diferentes classes de ativos varia muito - as ações têm inclinação de volatilidade, o câmbio tem uma volatilidade baixa - e os usuários devem incorporar os padrões de volatilidade aplicáveis em seus modelos. Pressupostos e desvantagens são parte integrante de qualquer modelo e a aplicação experiente de modelos em cenários de negociação no mundo real pode produzir melhores resultados.
A linha inferior
Com ativos complexos entrando no mercado ou até simples ativos de baunilha entrando em formas complexas de negociação, modelagem e análise quantitativas estão se tornando obrigatórias para avaliação. Infelizmente, nenhum modelo matemático vem sem um conjunto de desvantagens e suposições. A melhor abordagem é manter as suposições mínimas e estar ciente das desvantagens implícitas, que podem ajudar a traçar as linhas de uso e aplicabilidade dos modelos.
