Média aritmética vs. média geométrica

Existem várias maneiras de medir o desempenho do portfólio financeiro e determinar se uma estratégia de investimento é bem-sucedida. Profissionais de investimento costumam usar a média geométrica , mais comumente chamada média geométrica, para fazer isso.

A média geométrica difere da média aritmética, ou média aritmética, na forma como é calculada porque leva em consideração a composição que ocorre de período para período. Por esse motivo, os investidores geralmente consideram a média geométrica uma medida de retorno mais precisa do que a média aritmética.

A fórmula da média aritmética

O que outras pessoas estão dizendo $\begin{matrix} UMA = \frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} {uma}_{Eu} = \frac{{uma}_{1} + {uma}_{2} + \dots + {uma}_{n}}{n} \\ Onde: \\ {uma}_{1}, {uma}_{2}, \dots, {uma}_{n} = Retornos do portfólio por período n \\ n = Número de períodos \end{matrix} \ begin {align} & A = \ frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \ & \ textbf {onde:} \ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {O portfólio retorna para o período} n \\ & n = \ text {Número de períodos} \ \ end {alinhado}$ A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an onde: a1, a2, …, an = Retornos do portfólio para o período nn = Número de períodos

Média aritmética

Como calcular a média aritmética

Uma média aritmética é a soma de uma série de números divididos pela contagem dessa série de números.

Isso seria calculado como:

O que outras pessoas estão dizendo $\begin{matrix} \frac{6 0 0 % + 7 0 0 % + 8 0 0 % + 9 0 0 % + 1 0 0 0 0 %}{5} = 8 0 0 % \end{matrix} \ begin {alinhado} e \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5} = 80 \% \\ \ end {alinhado}$ 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

O motivo pelo qual usamos uma média aritmética para as pontuações dos testes é que cada pontuação é um evento independente. Se um aluno tiver um desempenho ruim no exame, as chances de o aluno ser ruim (ou bem) no exame não serão afetadas.

No mundo das finanças, a média aritmética geralmente não é um método apropriado para calcular uma média. Considere retornos de investimento, por exemplo. Suponha que você investiu suas economias nos mercados financeiros por cinco anos. Se o retorno do seu portfólio a cada ano fosse de 90%, 10%, 20%, 30% e -90%, qual seria o seu retorno médio nesse período?

Com a média aritmética, o retorno médio seria de 12%, o que parece à primeira vista impressionante - mas não é totalmente preciso. Isso ocorre porque, quando se trata de retornos anuais de investimentos, os números não são independentes um do outro. Se você perder uma quantia substancial de dinheiro em um determinado ano, terá muito menos capital para investir e gerar retornos nos anos seguintes.

Precisamos calcular a média geométrica dos retornos de seu investimento para obter uma medida precisa de qual seria o retorno médio anual real do período de cinco anos.

A fórmula para média geométrica

O que outras pessoas estão dizendo $\begin{matrix} {(\prod_{Eu = 1}^{n} x_{Eu})}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}} \\ Onde: \\ x_{1}, x_{2}, \dots = Retornos do portfólio para cada período \\ n = Número de períodos \end{matrix} \ begin {alinhado} & \ left ( prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ { frac {1} {n}} = \ sqrt {x_1 x_2 \ dots x_n} \ & \ textbf {onde:} \ & x_1, x_2, \ dots = \ text {O portfólio retorna para cada período} \ & n = \ text {Número de períodos} \ \ end {alinhado}$ (I = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn em que: x1, x2, ⋯ = Retornos do portfólio para cada períodon = Número de períodos

Como calcular a média geométrica

A média geométrica de uma série de números é calculada pegando o produto desses números e aumentando-o para o inverso do comprimento da série.

Para fazer isso, adicionamos um a cada número (para evitar problemas com porcentagens negativas). Em seguida, multiplique todos os números juntos e aumente seu produto à potência de um dividido pela contagem dos números da série. Então, subtraímos um do resultado.

A fórmula, escrita em decimais, tem a seguinte aparência:

O que outras pessoas estão dizendo $\begin{matrix} \frac{1}{n} - 1 \\ Onde: \\ R = Retorna \\ n = Contagem dos números da série \end{matrix} \ begin {alinhado} & ^ { frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {onde:} \ & \ text {R} = \ text {Return} \ & n = \ text {Count dos números da série} \ \ end {alinhado}$ N1 −1where: R = Returnn = Contagem dos números da série

A fórmula parece ser bastante intensa, mas, no papel, não é tão complexa. Voltando ao nosso exemplo, vamos calcular a média geométrica: nossos retornos foram 90%, 10%, 20%, 30% e -90%; portanto, os inserimos na fórmula como:

O que outras pessoas estão dizendo $\begin{matrix} (1.9 \times 1.1 \times 1.2 \times 1.3 \times 0 0 . 1)^{\frac{1}{5}} - 1 \end{matrix} \ begin {align} e (1, 9 \ times 1, 1 \ times 1, 2 \ times 1, 3 \ times 0, 1) ^ { frac {1} {5}} -1 \\ \ end {align}$ (1, 9 × 1, 1 × 1, 2 × 1, 3 × 0, 1) 51 −1

O resultado fornece um retorno médio anual geométrico de -20, 08%. O resultado usando a média geométrica é muito pior que a média aritmética de 12% que calculamos anteriormente e, infelizmente, também é o número que representa a realidade nesse caso.

Principais Takeaways

A média geométrica é mais apropriada para séries que exibem correlação serial. Isso se aplica especialmente às carteiras de investimentos. A maioria dos retornos financeiros está correlacionada, incluindo rendimentos de títulos, retornos de ações e prêmios de risco de mercado. Quanto maior o horizonte de tempo, mais complexa é a composição crítica e mais apropriado é o uso da média geométrica. Para números voláteis, a média geométrica fornece uma medida muito mais precisa do retorno real, levando em consideração a composição ano a ano.

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