Mesmo que você não saiba a distribuição binomial por nome e nunca tenha feito uma aula avançada de estatística na faculdade, você a entende por natureza. Sério, você faz. É uma maneira de avaliar a probabilidade de um evento discreto acontecer ou não. E tem muitas aplicações em finanças. Veja como funciona:
Você começa tentando algo - lançamentos de moedas, lances livres, rodadas na roleta, o que seja. A única qualificação é que o item em questão deve ter exatamente dois resultados possíveis. Sucesso ou fracasso, é isso. (Sim, uma roleta tem 38 resultados possíveis. Mas, do ponto de vista de um apostador, existem apenas dois. Você vai ganhar ou perder.)
Usaremos lances livres para o nosso exemplo, porque eles são um pouco mais interessantes do que a chance exata e imutável de 50% de um pouso de moeda. Digamos que você seja Dirk Nowitzki, do Dallas Mavericks, que atingiu 89, 9% de seus lances livres no ano passado. Vamos chamá-lo de 90% para nossos propósitos. Se você colocá-lo na linha agora, quais são as chances dele atingir (pelo menos) 9 em 10?
Não, eles não são 100%. Nem são 90%.
Eles são 74%, acredite ou não. Aqui está a fórmula. Somos todos adultos aqui, não precisa ter medo de expoentes e letras gregas:
n é o número de tentativas. Nesse caso, 10.
i é o número de sucessos, que é 9 ou 10. Vamos calcular a probabilidade de cada um e adicioná-los.
p é a probabilidade de sucesso de cada evento individual, que é 0, 9.
A chance de atingir a meta, ou seja, a distribuição binomial de sucessos e fracassos, é esta:
O que outras pessoas estão dizendo I = 0∑k (ni) pi (1-p) n-i
Notação matemática corretiva, se você precisar mais dos termos dessa expressão:
O que outras pessoas estão dizendo (Ni) = (n-i)! I! N!
Esse é o "binomial" na distribuição binomial: ou seja, dois termos. Estamos interessados não apenas no número de sucessos, nem no número de tentativas, mas em ambos. Cada um é inútil para nós sem o outro.
Notação matemática mais corretiva:! é fatorial: multiplicando um número inteiro positivo por cada número inteiro positivo menor. Por exemplo, O que outras pessoas estão dizendo 5! = 5 × 4 × 3 × 2
Conecte os números, lembrando que precisamos resolver 9 de 10 lances livres e 10 de 10, e obteremos
O que outras pessoas estão dizendo (9! 1! 10! ×.9, 9 ×.1, 1) + (10! 10! ×.91 ×.10)
= 0, 387420489 (que é a chance de atingir nove) + 0, 3486784401 (a chance de atingir todos os dez)
= 0, 736098929
Essa é a distribuição cumulativa , em oposição à mera distribuição de probabilidade . A distribuição cumulativa é a soma de múltiplas distribuições de probabilidade (no nosso caso, seriam duas). A distribuição cumulativa calcula a chance de atingir um intervalo de valores - aqui, 9 ou 10 em 10 lances livres - em vez de um único valor. Quando perguntamos quais são as chances de Nowitzki atingir 9 em 10, deve-se entender que queremos dizer "9 ou melhor em 10", não "exatamente 9 em 10".
Então, o que isso tem a ver com finanças? Mais do que você possa imaginar. Digamos que você seja um banco, um credor, que saiba, dentro de três casas decimais, a probabilidade de um determinado devedor deixar de pagar. Quais são as chances de tantos tomadores de empréstimos deixarem o banco insolvente? Depois de usar a função de distribuição binomial cumulativa para calcular esse número, você tem uma idéia melhor de como precificar o seguro e, finalmente, quanto dinheiro emprestar e quanto manter em reserva.
Você já se perguntou como os preços iniciais das opções são determinados? A mesma coisa, mais ou menos. Se uma ação subjacente volátil tem uma chance p de atingir um preço específico, você pode ver como a ação se move ao longo de uma série de n períodos para determinar a que preço as opções devem vender. (Pronto para técnicas de negociação mais avançadas? Confira o artigo da Investopedia sobre Estratégias para o uso de indicadores técnicos.)
A aplicação da função de distribuição binomial ao financiamento fornece alguns resultados surpreendentes, se não completamente contra-intuitivos; bem como a chance de um arremessador de 90% de lances livres atingir 90% de seus lances livres ser algo menor que 90%. Suponha que você tenha uma segurança com tantas chances de um ganho de 20% quanto uma perda de 20%. Se o preço do título caísse 20%, quais são as chances de ele voltar ao seu nível inicial? Lembre-se de que um simples ganho correspondente de 20% não é suficiente: um estoque que cai 20% e depois ganha 20% ainda cairá 4%. Continue alternando quedas e ganhos de 20% e, eventualmente, o estoque não terá valor.
A linha inferior
Analistas com uma noção da distribuição binomial têm um conjunto de ferramentas adicionais de qualidade em mãos ao determinar preços, avaliar riscos e evitar os resultados desagradáveis que podem resultar da preparação insuficiente. Quando você entender a distribuição binomial e seus resultados surpreendentes, estará bem à frente das massas.
